اکنون سه مثلث متساوی الاضلاع باقی مانده در شکل را در نظر بگیرید ,وسط های ضلع ها را در هر مثلث به هم وصل کرده واز درون هر یک, مثلث متساوی الاضلاعی که در وسط پدید می آید را حذف نمائید .

با تکرار این روش در دو گام بعدی این شکل ها حاصل می شوند :

 اگر این فرآیند را تا بی نهایت تکرار کنیم، شکل به دست آمده را مثلث سیرپینسکی گویند .

مـثلـث سـیــر پیـنـســکــی

اگر به شکل فوق دقت کنیم در می یابیم که مثلث سیرپینسکی حاوی کپی هایی کوچک تر از خود است که این کپی ها هم اندازه بوده و آن را می سازند . مثلا" همان طور که در شکل مشخص شده است، مثلث سیرپینسکی حاوی 3 کپی کوچک تر از خود است که این کپی ها هم اندازه بوده و آن  را می سازند و اگر این کپی ها را 2 برابر بزرگ کنیم بر مثلث سیرپینسکی منطبق خواهند شد .

در هندسه این خاصیت را خود شبیهی و کپی های فوق را قطعه های خود شبیه و میزانی که کپی ها باید بزرگ شده تا بر شکل  منطبق شوند را ضریب بزرگ نمایی گویند .

چند مثال دیگراز خود شبیهی :

 عدد طبیعی و دلخواه را در نظر بگیرید.

پاره خط دلخواهی را در نظر بگیرید و آن را به N قسمت مساوی تقسیم نمائید ,

که در آن M=N عبارت است از تعداد قطعه های خود شبیه پاره خط .

مربع دلخواهی را در نظر بگیرید و هر ضلع آن را به N قسمت مساوی تقسیم نمائید تا  قطعه ی خود شبیه مربع داشته باشیم .

( دو نمونه از این شکل ها)

مکعب دلخواهی را در نظر بگیرید و هر یال آن را به N قسمت مساوی تقسیم نمائید تا  قطعه ی خود شبیه مکعب داشته باشیم .

( حالت2=N )  

تعریف : برای شکل  هندسی دلخواهی که خاصیت خود شبیهی دارد, بعد عبارت است از:

که در آن Mبرابر تعداد قطعه های خود شبیه شکل با ضریب بزرگ نمایی N .

این تعریف، تصورهای قبلی ما مبنی بر این که پاره خط , مربع و مکعب به ترتیب  2,1 و3 بعدی هستند (چنان که در فوق دیدیم) را تائید می کند .

حال بعد مثلث سیرپینسکی را محاسبه می کنیم :

که تقریبا" برابر 58/1 است .


اگر به این بحث علاقمند شدید , لازم است بدانید که  شکل های با خاصیت خود شبیهی  نقش انکارناپذیری در رایانه, هنروپزشکی دارند