در این جا سعی می کنیم مجموعه هائی را مشخص کنیم که ویژگی گرداب ها یا سیاه چاله های فضائی را دارند. به عبارت دیگر با تعریف فرایندهائی که در حکم نوعی جاذبه هستند ، هر عدد طبیعی را به مجموعه ی خاصی که سیاه چاله ی ریاضی می نامیم، هدایت کنیم.

قبل از بیان تعریف ، به چند مثال توجه کنید :
الف ـــ سیاه چاله ی زوج وفرد
مثال ? ـــ عدد طبیعی زیر را در نظر بگیرید :

???????????????

این عدد ?? رقم دارد ، ? رقم آن زوج و ? رقم آن فرد است. با ?? و ? و ? عدد
زیر را می سازیم :

????

این عدد ? رقمی است ، ? رقم زوج و ?رقم فرد دارد. با این ارقام طبق همان
دستور عدد زیر ساخته میشود :

???

این عدد ? رقمی است ، ? رقم زوج و ? رقم فرد دارد. با همان فرایند عدد زیر حاصل میشود :

???

اگر فرایند مذکور را در باره ی این عدد به کار ببرید ،مجددا همین عدد را خواهید داشت.
مثال ? ـــ اکنون عدد طبیعی زیر را در نظر می گیریم :

?????????????????????

این عدد ?? رقمی است.تعداد ارقام زوج آن ? و تعداد ارقام فرد آن ?? است.
مطابق دستور العمل بالا به ترتیب خواهیم داشت:

 ????? => ???  => ???

مثال ?ـــ عدد یک رقمی ? نیز با همان فرایند به ??? می رسد:
این عدد ? رقمی ، دارای ? رقم زوج بوده ورقم فرد ندارد.

 ? => ??0  => ???

اکنون این سئوال مطرح است که اگر با هر عدد طبیعی شروع کنیم و فرایند بالا را به کار ببریم به عدد ??? خواهیم رسید ؟
ضمن مثال‌های قبل ملاحظه کردید که از هر عددی شروع کنیم، به سرعت به یک عدد ? رقمی می رسیم. بنا بر این کافی است حالت های مختلف ارقام یک عدد سه رقمی را از نظر تعداد ارقام زوج و فردبررسی کنیم. این حالت ها عبارتند از :

بنا بر این فرایند مذکور سیاه چاله ی { ??? } =A را معرفی می کند.
تابع متناظر با آن عبارت است از :

F ( n ) = abc

که در آن a تعداد ارقام عدد ، b تعداد ارقام زوج و c تعداد ارقام فرد آن است