- استفاده از یافته های واقعی درس به عنوان نقطه شروع فعالیت:
ما باید ریاضی را آنطور که هست به دیگران یاد دهیم. باید توجه کنیم که، ریاضیات تنها مجموعه ای از حقایق نیست که آنها را به شکل قضیه و لم ومسائل به دیگران نشان می دهیم، بلکه ریاضی، یک تفکر است که ما، به وسیله مجموعه ای از قضایا و مسائل باید آن تفکر را در کسانی که خواستار یادگیری آن هستند به وجود آوریم تا هرکس با هر مقدار که ریاضی می داند، بتواند با مسائل برخورد

 کند. یکی از راه های فهم واقعی درس، ایجاد تفکر است و آن یعنی اینکه به آنها اجازه داده شود و تشویق شوند که فکر کنند و با ایجاد تفکر خود، مساله تازه و قضیه ارائه دهند حتی اگر معلم قادر به انجام این کار نباشد؛ مهم نیست مساله چقدر ساده و ابتدایی باشد مهم این است، که فکر تازه باشد باید به آنها فکر تصمیم دادن را یاد داد تا آنجا که می توانیم مطالب را به شکل تعمیمی ارائه دهیم و بخواهیم درباره تعمیم هر مطلب ریاضی قابل فهم فکر کنند.
جرج پولیا معتقد بود که این یادگیرنده است که باید با تلاش درونی، علم را از درون خود برپا کند و این نوع آموختن است که انسان را توانمند می کند. یکی از راه های اصول یادگیری، اصل یادگیری فعال است که، شامل بصیرتها و تصورات و افکار است که متوالیاً در یادگیری نقش دارند. اصل یادگیری فعال اشاره به این دارد که اگر یادگیری همراه بافعالیت و کشف توسط خود دانش آموز باشد، همواره در ذهن جای می گیرد. برای یادگیری مفید، یادگیرنده بایستی خودش قسمت عمده مطالب را کشف کند و با تعمیم مطلب و توانایی خویش در فهم آن و با به کارگیری زبان ریاضیات، مجهولات را از روی اطلاعات پیدا کرده و همراه با کنترل اثباتها، در حل مسائل به کار گیرد.
نکته بسیار مهم دیگر خواندن دقیق کتاب و درک صورت مساله است. با درک و فهم دقیق مساله و مطلب درسی می توان مسائل را حل کرد بدون آنکه، بخواهیم حل آنها را از روی کتابی مونتاژ کنیم

گام دیگر معرفی کتب غیر درسی پس از دانش دقیق مطالب درست به دانش آموزان است که در یادگیری آنان موثر است. زیرا کتب درسی، معمولاً برای دانش آموزان متوسط نوشته می شود و دانش آموزان تشنه علم، بایستی بتوانند از منابع دیگری استفاده کنند، که البته جرج پولیا، به نقل از آناتول فرانس نقل می کند:
سعی نکنید با زیاد یاد دادن به دانش آموزان غرور و تکبر خود را ارضا کنید فقط کنجکاوی آنها را بیدار کنید، چشم شنوندگان خود را باز کنید ولی از سنگین کردن بار مغز آنها بپرهیزید کافی است جرقه ای در آنها بوجود آورید، هر جا که خوراکی برای آتش وجود داشته باشد شعله آن به خودی خود افزون می شود
حوزه برنامه درسی زمانی قابل فهم است که قدرتی در یادگیری را به عنوان یک رویداد مهم وجود آدمی بیندیشیم. یادگیری با عوامل و منابع گوناگون در ارتباط است. رابطه یادگیری با ماهیت یادگیرنده باید معلوم شود لازمه زندگی اجتماعی، یادگیری ویاد دادن طبق قواعد و فنون خاص خود است.
البته به روش تعلیم دهنده هم بستگی دارد. رابطه یادگیری با جامعه و نیازها و ضرورت های اجتماعی باید با طور عملی تعریف شود. در یادگیری، دانش آموز باید به سطحی از ادراک برسد گه بتواند ارتباط بین مفاهیم مختلف ریاضی را درک کند مثلاً ارتباط بین حد و پیوستگی و مشتق و انتگرال و به عبارت دیگر باید به مرحله مهارت برسد. هدف فرد نباید فقط برای کسب نمره یا ترس از تنبیه باشد بلکه باید، انگیزه مثبتی وجود داشته باشد تا اورا به سوی یادگیری تشویق کند و مطلب برایش جنبه اجباری و دستوری نداشته باشدو ثانیاً پس از فهم، زحمت حل تمرینات را متحمل شود. ابوریحان بیرونی کار و دانش و ریاضیات را تصفیه کردن روح و جسم آدمی می داند. هر گاه بخواهیم، به چیزی ارزشمند برسیم باید از بعضی موارد جزئی چشم پوشی کنیم. برای رسیدن به اندیشه ریاضی باید با ریاضیات مانوس شویم هنگامی که به این مرحله رسیدیم خود به خود تنبلی و کاهلی از ما دور خواهد شد.
ریاضیات علمی پیوسته است باید از ریشه شروع کنیم و بعد به شاخه های پر بارش خواهیم رسید.

3-کار گروهی و بحث همگانی و تاثیر آن بر یادگیری دانش آموزان
اگر به فکر یادگیری معنادار و مداوم در دانش آموزان خود هستیم باید با نظریات دانشمندانی مانند پیاژه و بونر آشنا شویم واز آنها در تدریس خود استفاده کنیم. یکی از نظریات این دانشمندان در روانشناسی یادگیری ریاضی، آن است که دانش آموزان، خود سازنده دانش خویش باشند.
یکی از مشکلات موجود در تدریس و یادگیری ریاضیات، عدم توجه به تفاوتهای فردی شاگردان در کار ریاضی و نگاه موجی به کلاس است. زیرا در کلاس افراد زیادی وجود دارند که مانند ما نمی اندیشند و کسب یادگیری و شناختی آنان با یکدیگر و با خود ما متفاوت است ولی با استفاده از بحث گروهی و کار در گروه های کوچک، فرصت خوبی برای یافتن تفاوت های فردی ایجاد می شود.
ریاضیات به عنوان فعالیتی انسانی، پدیده ای اجتماعی، فرهنگی و تاریخی است.ریاضیات دارای موضوعی واقعی و معنادار است و معنی آن راباید، در خرد جمعی آحاد بشر جستجو کرد. نظریه تعامل اجتماعی و یگوتسکی نیز بر این اذعان دارد که یادگیری و فعالیت آگاهانه اساساً اجتماعی و گروهی است و نه انفرادی.
افزایش توانایی کشف پاسخ و ارائه استدلال در دانش آموزان می تواند یکی از اهداف آموزش ریاضی باشد. همراه با افزایش توانایی های گروهی، دانش آموزان می توانند با جنبه های مختلف ریاضی آشنا شوند.
معلم می تواند با کار گروهی در کلاس ویژگی های فردی دانش آموزان را مورد بررسی قرار دهد: خلاقیت ابتکار و تشریک مساعی در گروه، رهبری و مشارکت، پشتکار و دقت، انعطاف پذیری و تحمل نظر دیگران، اشتیاق رفتن به فراتر مساله.
انتظار می رود بدین ترتیب دانش آموزان در سیر آموزش به توانایی ارائه حدس خوب دست یابند و با ارائه اثبات های گوناگون و تبادل نظر در کلاس، در نهایت درک مناسبی از ارزش های ریاضی بدست آورند. در واقع کار گروهی در کلاس بدین ترتیب که دانش آموزان، به گروه های 3 الی 5 نفره تقسیم می شوند، باعث می شود که روح مشارکت و همکاری در دانش آموزان تقویت شود. کلاس درسی که سال ها بایست دانش آموزان در آن صم بکم بنشینند تبدیل به محیطی فعال و شلوغ و پرجنب و جوش می شود. همچنین حل فعالیت های کلاسی و تمرینات و مثالهای طرح شده توسط معلم، توسط خود آنها انجام می گیرد و نتیجه تحقیقات از زبان آنها مطرح می شود.